Pole elektryczne

# Pole elektryczne

- prawo Coulomba
- prawo Gaussa
- dipol elektryczny
- pole elektryczne w dielektrykach
- prawo Gaussa w dielektrykach
- polaryzacja elektryczna
- potencjał pola elektrycznego

</div><div>

- bezwirowość pola elektrycznego
- prawo Gaussa w postaci różniczkowej
- równanie Poissona i Laplace'a
- przewodnik w polu elektrycznym
- pojemność elektryczna
- gęstość energii pola elektrycznego
- prąd elektryczny

</div></div>

----

## Ładunki elektryczne

### Zasada zachowania ładunku

> Istnieją dwa rodzaje ładunków elektrycznych, dodatnie i ujemne. Elektryzowanie ciał prowadzi do zmiany podziału ładunku między elektryzowane ciała, bez zmiany jego wartości: $\sum_i q_i = const$.

### Kwantyzacja ładunku

Ładunek elektryczny jest skwantowany. Całkowity ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego $e$.

</div><div>

- elektron
  - ładunek $q_e = -e = -1.602 \times 10^{-19} C$
  - masa $m_e = 9.109 \times 10^{-31} kg$
- proton
  - ładunek $q_p = e = 1.602 \times 10^{-19} C$
  - masa $m_p = 1.672 \times 10^{-27} kg$
- neutron
  - ładunek $q_n = 0$
  - masa $m_n = 1.675 \times 10^{-27} kg$

</div></div>

----

### Prawo Coulomba

$\vec F_c = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \vec i_r$

stała elektryczna $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} F/m$

</div>

![](coulomb.svg)

Ładunki elektryczne oddziałują ze sobą siłą Coulomba. Ładunki tego samego rodzaju (znaku) odpychają się, różnego rodzaju - przyciągają.

</div><div>

### Natężenie pola elektrycznego

Do opisu oddziaływań między ładunkami wprowadzamy koncepcję pola wektorowego i ładunku próbnego.

![](pole_e.svg)

$\vec E = \frac{\vec F}{q_{pr}}$

</div>

Dla ładunku punktowego $Q$:

> $\vec E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \vec i_r$

</div></div>

----

## Linie pola elektrycznego

*Konwencja:* pole elektryczne skierowane jest od ładunków dodatnich (**źródła pola**) i do ładunków ujemnych (**dreny**).

![](pole_wektorowe.png)

</div><div>

Pole w dowolnym punkcie jest superpozycją pól wytwarzanych przez wszystkie ładunki w przestrzeni.

</div></div>

----

## Indukcja elektryczna

### Elektryzowanie przez indukcję

![](indukowanie.png)

Pole elektryczne powoduje rozsunięcie ładunków w stykających się przewodzących płytkach. Po rozsunięciu płytki są przeciwnie naładowane.

</div><div>

### Wektor indukcji elektrycznej

![](gestosc_pow.png)

gęstość powierzchniowa ładunku: $\sigma = \frac{Q}{S}$

Wektor indukcji elektrycznej

$|\vec D| = \sigma$

</div>

</div></div>

---

## Prawo Gaussa

### Strumień wektora D

$\Phi_D = \int \limits_S \vec D \cdot d \vec S$

### Prawo Gaussa w postaci całkowej

$\oint \limits_S \vec D \cdot d \vec S = \int \limits_V \rho ~dV = Q$

- $S$ - dowolna zamknięta powierzchnia
- $V$ - objętość otoczona powierzchnią $S$
- $\rho$ - gęstość ładunku elektrycznego
- $Q$ - całkowity ładunek otoczony powierzchnią $S$

</div>

</div><div>

![](strumien.png)

![](gestosc_obj.png)

</div>

----

## Prawo Gaussa dla próżni

$\vec D = \varepsilon_0 \vec E \Rightarrow$

$\varepsilon_0 \oint \limits_S \vec E \cdot d \vec S = Q$

### Przykład: ładunek punktowy

$\varepsilon_0 \oint \limits_S \vec E \cdot d \vec S = q$

$\vec E \Vert d \vec S \Rightarrow \vec E \cdot d \vec S = E~dS$

$\varepsilon_0 \oint \limits_S E ~ dS = q$

$E=E(r) \Rightarrow E=const$

$\varepsilon_0 ~E \oint \limits_S dS = q$

$\varepsilon_0 E S = q$

</div><div>

![](gauss_lad_pkt.png)

$\varepsilon_0 E ~4 \pi r^2 = q$

$E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$

</div>

----

## Dipol elektryczny

![](dipol.png)

Moment dipolowy: $\vec p = q \vec l$

</div><div>

<div>\[\begin{aligned}
E &= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_+^2} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_-^2} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{r_-^2-r_+^2}{r_-^2r_+^2}=\\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(r_--r_+)(r_-+r_+)}{r_-^2r_+^2}
\end{aligned}\]</div>

$r_--r_+=l,~l \ll r_+ \Rightarrow r_- \approx r_+ \equiv r \Rightarrow E = \frac{p}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}$

</div></div>

----

### Energia dipola w polu zewnętrznym

![](energia_dipola.png)

</div><div>

Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu elektrycznym $\vec E$:

$M = Eql \sin\alpha \Rightarrow \vec M = \vec p \times \vec E$

Praca obrotu dipola wykonana przez pole $\vec E$:

$dW = M d\alpha = E p \sin\alpha d\alpha$

$W = Ep \int \sin\alpha d\alpha = -pE \cos\alpha = -\vec p \cdot \vec E$

</div></div>

Praca obrotu dipola wykonana przez pole $\vec E$ jest miarą energii potencjalnej.

$V = -\vec p \cdot \vec E$

</div><div>

$\alpha = \pi \Rightarrow V \rightarrow max$

$\alpha = 0 \Rightarrow V \rightarrow min = -pE$

</div></div>

---

## Dielektryki

Substancje, w których po umieszczeniu w zewnętrznym polu elektrycznym, indukuje się moment dipolowy, lub istniejący moment orientuje się zgodnie z polem.

**polarne**

![](polarne.png)

Uporządkowanie istniejących momentów dipolowych cząsteczek.

</div><div>

**niepolarne**

![](niepolarne.png)

Mikroskopowa separacja ładunku wewnątrz cząsteczek.

</div></div>

W obu przypadkach wytwarza się pole $\vec E'$, zwrócone przeciwnie do pola zewnętrznego, tak że efektywne pole wewnątrz dielektryka jest mniejsze niż w próżni.

----
### Prawo Gaussa w dielektrykach

![](dielektryk.svg)

</div><div>

- $q_{sw}$ – ładunek swobodny wewnątrz pow. $S$
- $q’$ – ładunek związany wewnątrz pow. $S$

$ \varepsilon_0 \oint \limits_S \vec E \cdot d \vec S = q_{tot} = q_{sw}-q' \Rightarrow E = \frac{q_{sw}}{\varepsilon_0 A} - \frac{q'}{\varepsilon_0 A}$

Natężenie w kondensatorze próżniowym: $E_0 = \frac{q_{sw}}{\varepsilon_0 A}$

</div></div>

Założenie: $E_0 = \varepsilon_r E$

</div>

- $\varepsilon_r=const$ - stała dielektryczna

$E = \frac{E_0}{\varepsilon_r} = \frac{q_{sw}}{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}$

</div><div>

$q' = \left( 1 - \frac{1}{\varepsilon_r} \right) q_{sw} \Rightarrow \varepsilon_0 \oint\limits_S \vec E \cdot d \vec S = q_{sw} - \left( 1 - \frac{1}{\varepsilon_r} \right) q_{sw} = \frac{q_{sw}}{\varepsilon_r}$

$\varepsilon_0 \varepsilon_r \oint\limits_S \vec E \cdot d \vec S = q_{sw}$

**Wektor indukcji elektrycznej:** $\vec D \equiv \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E \Rightarrow \oint\limits_S \vec D \cdot d \vec S = q_{sw}$

</div></div>

----

### Wektory indukcji $\vec D$ i polaryzacji $\vec P$

**Prawo Gaussa dla indukcji elektrycznej:**

$\oint\limits_S \vec D \cdot d \vec S = q_{sw}$

$\vec D \equiv \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E$

</div>

Prawo Gaussa w dielektrykach, napisane dla wektora indukcji elektrycznej, uwzględnia tylko wpływ ładunków swobodnych. Wpływ ładunków związanych uwzględnia względna przenikalność elektryczna $\varepsilon_r$.

</div><div>

$\varepsilon_0  \oint\limits_S \vec E \cdot d \vec S = q_{tot} = q' \frac{1}{\varepsilon_r-1} \Rightarrow$

$\oint\limits_S \varepsilon_0 (\varepsilon_r-1) \vec E \cdot d \vec S = q'$

Prawo Gaussa dla polaryzacji:

$\oint\limits_S \vec P \cdot d \vec S = q'$

$\vec P \equiv \varepsilon_0 (\varepsilon_r-1) \vec E$

</div>

Wektor polaryzacji jest związany z ładunkami związanymi w dielektryku.

</div></div>

----

## Trzy wektory elektryczne

- $\vec E$ - natężenie pola elektrycznego
- $\vec D$ - indukcja elektryczna
- $\vec P$ - polaryzacja

> $\vec D = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$

### Podatność elektryczna

$\chi \equiv \varepsilon_r-1$

$\vec P = \varepsilon_0 \chi \vec E$

Podatność określa zdolność dielektryka do polaryzacji pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego.

> UWAGA: w ośrodkach anizotropowych wielkości $\varepsilon_r$ i $\chi$ są tensorami.

---

## Potencjał pola elektrycznego

Pole elektryczne jest zachowawcze (potencjalne). Praca pola elektrycznego nie zależy od drogi, więc praca na drodze zamkniętej wynosi zero.

$W_{AB} = \int\limits_A^B dW = \int\limits_A^B \vec F \cdot d \vec l = -\int\limits_A^B \vec E q \cdot d \vec l$

$\oint\limits_{ABA} dW=0 \Rightarrow \oint\limits_{ABA} \vec E \cdot d \vec l=0$

</div><div>

![](praca_a_b.png)

</div></div>

$\vec E \cdot d \vec l$ musi być różniczką pewnej funkcji skalarnej $\varphi$.

$\Rightarrow \vec E \cdot d \vec l = -d\varphi \Rightarrow \vec E = - \frac{d\varphi}{d\vec l}$

Pochodną kierunkową można zapisać w postaci gradientu:

$\vec E = - \nabla \varphi = - \left[ \frac{\partial\varphi}{\partial x}, \frac{\partial\varphi}{\partial y}, \frac{\partial\varphi}{\partial z} \right]$

----

## Bezwirowość pola elektrostatycznego

![](rot_e.png)

</div><div>

<div>\[\begin{aligned}
\Gamma &= \oint\vec E \cdot d \vec l= \\
&=E_x\Delta x + \left( E_y+\frac{\partial E_y}{\partial x}\Delta x \right) \Delta y- \\
&-\left( E_x+\frac{\partial E_x}{\partial y}\Delta y \right) \Delta x - E_y\Delta y= \\
&=\left( \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y
\end{aligned}\]</div>

</div></div>

$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} = \lim\limits_{\Delta x \Delta y \to 0} \frac{\Gamma}{\Delta x \Delta y} \equiv (\nabla \times \vec E)_z$ - rotacja (składowa w płaszczyźnie $xy$)

----

## Rotacja pola elektrostatycznego

$\nabla \times \vec E = \left[ 
 \frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}, 
 \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}, 
 \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\right]$

Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym.

$\Gamma = 0 \Rightarrow \nabla \times \vec E = 0$

Ogólnie, dla dowolnego pola skalarnego:

$\nabla \times \nabla \varphi = 0$

----
## Dywergencja pola elektrycznego

![](div_e_color.png)

</div><div>

Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię $S$ w kształcie prostopadłościanu:

$\Phi = \Phi_x + \Phi_y + \Phi_z$

$\Phi_x = \left( E_x + \frac{\partial E_x}{\partial x} \Delta x - E_x \right) \Delta y \Delta z = \frac{\partial E_x}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z$

$\Phi_y = \frac{\partial E_y}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z$, 
$\Phi_z = \frac{\partial E_z}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z$

$\Rightarrow \Phi = \left( \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} \right) \Delta x \Delta y \Delta z \rightarrow$

$\rightarrow \Phi = \oint\limits_V \left( \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} \right) dx dy dz$

</div></div>

----

## Prawo Gaussa w postaci różniczkowej

$\Phi = \oint\limits_V \left( \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} \right) dx dy dz$

Ładunek w objętości $V$

$Q = \oint\limits_V \rho dx dy dz$

Na mocy prawa Gaussa:

$\varepsilon_0 \oint\limits_V \left( \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} \right) dx dy dz = \oint\limits_V \rho dx dy dz$

Dywergencja:

$\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$

Różniczkowa postać prawa Gaussa:

$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

</div>

----

## Równania różniczkowe opisujące pole elektryczne

- $\vec E = - \nabla \varphi$ - związek między natężeniem pola elektrycznego, a potencjałem
- $\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ - prawo Gaussa
- $\nabla \times \vec E = 0$ - bezwirowość pola elektrostatycznego

### Równania Poissona i Laplace'a

$\nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot ( - \nabla \varphi) = - \nabla^2 \varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

$-\nabla^2 \varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ - równanie Poissona

</div>

$\nabla^2 \varphi = 0$ - równanie Laplace'a (w przestrzeni bez ładunków elektrycznych)

---

# Przewodniki

- przewodnik elektryczny - materiał, w którym elektrony walencyjne nie są związane z żadnym z atomów
- elektrony te tworzą tzw. gaz elektronowy
- swobodne elektrony są nośnikami prądu elektrycznego
- oprócz przewodników metalicznych występują również przewodniki jonowe i elektrolityczne
- mechanizm powstawania gazu elektronowego opisuje mechanika kwantowa.

----

## Własności przewodników

- występują swobodne elektrony
- $\Rightarrow$ **w stanie równowagi** swobodne elektrony są wyłącznie na powierzchni przewodnika
- $\Rightarrow$ natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest zerowe
- $\Rightarrow$ wektor $\vec E$ na powierzchni jest normalny do powierzchni
- $\Rightarrow$ potencjał elektryczny na powierzchni przewodnika jest stały (powierzchnia ekwipotencjalna)
 - $\Rightarrow$ gęstość ładunku elektrycznego zależy od promienia krzywizny powierzchni (największa na ostrzach, najmniejsza na płaskich powierzchniach)

----

## Pojemność elektryczna

Ponieważ równanie Poissona jest liniowe, zmiana ładunku na powierzchni spowoduje proporcjonalną zmianę potencjału elektrycznego.

$\nabla^2 (const \cdot \varphi) = const \cdot \nabla^2 \varphi = \frac{const \cdot \rho}{\varepsilon_0}$

Stosunek zgromadzonego ładunku do potencjału jest więc stały i zwany pojemnością elektryczną.

Pojemność elektryczna przewodnika:

$C = \frac{q}{\varphi}$

</div>

### Kondensator

- układ dwóch przewodników oddzielonych izolatorem
- pozwala zgromadzić energię pola elektrycznego
- pojemność: $C = \frac{Q}{U}$, gdzie $Q$ - ładunek elektryczny, $U$ - 
napięcie (różnica potencjałów) między okładkami

----

### Energia pola elektrycznego kondensatora

Wprowadzenie na okładki kondensatora ładunku $dq$ związane jest z przyrostem napięcia między okładkami o $dU$ i wymaga pracy $dW$.

$dq = C dU$

$dW = U dq = \frac{q}{C} dq$

$W = \int\limits_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{Q^2}{2C}$

Energia pola elektrycznego kondensatora równa jest pracy wprowadzenia ładunku $Q$ na okładki.

$E = W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{QU}{2} = \frac{CU^2}{2}$

----

### Przykład: kondensator kulisty

![](kondensator_kulisty.png)

</div><div>

$r<R_1, r>R_2 \Rightarrow E=0$

$R_1<r<R_2 \Rightarrow E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$

$\varphi(r) = -\int E dr = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$

$U = \varphi(R_1) - \varphi(R_2) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) =$

$ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{R_2-R_1}{R_1 R_2}\right)$

$C = \frac{q}{U} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

</div></div>

> Jak zmieni się pojemność kondensatora, gdy przestrzeń między okładkami będzie wypełniona dielektrykiem o stałej $\varepsilon_r$?

---

## Gęstość energii pola elektrycznego

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ - pole elektryczne pochodzące od ładunku elektrycznego $q$, rozłożonego równomiernie na powierzchni sfery o promieniu $R$.

</div><div>

$\varphi(r \to \infty) \to 0 \Rightarrow$

$\varphi(r) = -\int E dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\Rightarrow$

$\varphi(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ - potencjał na powierzchni sfery

</div></div>

Praca potrzebna na sprowadzenie na powierzchnię sfery ładunku $dq$ z nieskończoności:

$dW = \left[ \varphi(R) - \varphi(\infty) \right] dq = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} qdq$

Aby zgromadzić na powierzchni sfery ładunek $Q$, należy wykonać pracę $W$, 
która zostanie zmagazynowana w postaci energii pola elektrycznego $E_p$.

$W = \int\limits_0^Q dW = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int\limits_0^Q qdq = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = E_p$

----

## Gęstość energii pola elektrycznego

$w = \frac{dE_p}{dV} = \frac{dW}{dV} = - \frac{dW}{dR} \frac{dR}{dV}$

$V = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow \frac{dV}{dR} = 4 \pi R^2$

$\frac{dW}{dR} = - \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}$

$w = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2} \frac{1}{4\pi R^2} = {1\over2} \varepsilon_0 \frac{Q^2}{(4\pi\varepsilon_0 R^2)^2} = {1\over2}\varepsilon_0 (E(R))^2$

</div><div>

![](kula_dv.png)

</div></div>

Gęstość energii pola elektrycznego:

$w(x, y, z) = {1\over2}\varepsilon_0 E^2(x, y, z) = {1\over2} \vec E \cdot \vec D$

</div>

---
## Prąd elektryczny

![](prad_mikro.png)

</div><div>

Wektor gęstości prądu (definicja mikroskopowa):

$\vec j = ne\vec v$

- $n$ - koncentracja nośników
- $n\vec v$ - strumień nośników

Natężenie prądu elektrycznego: $I = \int\limits_S \vec j \cdot d\vec S = \frac{dq}{dt}$

</div></div>

### Prawo Ohma

Pod wpływem siły zewnętrznej (pola elektrycznego) w przewodniku ustala się prędkość nośników ładunku proporcjonalna do siły (jak w ośrodku lepkim).

</div><div>

$\vec j = \sigma \vec E$

$\sigma=const$ - przewodność właściwa

</div></div>

----

## Równanie ciągłości

Rozpatrzmy zamkniętą powierzchnię $S$, wewnątrz której znajduje się w chwili $t$ ładunek $q$.

- $q = \int\limits_V \rho dV$
- $\rho$ - gęstość ładunku

$I = -\frac{dq}{dt}$ - natężenie prądu elektrycznego wypływającego z powierzchni $S$.

</div><div>

$I = -\int\limits_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = \int\limits_S \vec j \cdot  d \vec S$

Twierdzenia Gaussa:

$\int\limits_S \vec j \cdot  d \vec S = \int\limits_V \nabla \cdot \vec j ~ dV$

$ \int\limits_V \nabla \cdot \vec j ~ dV  = - \int\limits_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV$

</div></div>

Równanie ciągłości:

$\nabla \cdot \vec j = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$

</div>